Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi dan Aplikasinya

1.        Turunan pertama dari fungsi f(x) = (2-6x)³ adalah?

Penyelesaian:

Fungsi pada soal berbentuk fungsi lain yang eksponensial. Untuk menentukan  turunannya, digunakanlah aturan rantai.

Jika f(x) = (u(x))ⁿ maka f ‘ (x) = n.(u(x))ⁿ-1 . (u ‘ (x))

Perhatikan pembahasannya pada gambar di bawah ini.

Jadi, turunan pertama dari f(x) = (2-6x)³ adalah f ‘ (x) = -18(2-6x)² atau f ‘ (x) = -18(4-24x+36x²)

  

2.        Turunan pertama dari fungsi trigonometri f(x) = 5sinx cosx adalah?

Penyelesaian:

Fungsi diatas berbentuk fungsi perkalian jadi untuk menentukan turunannya, digunakanlah aturan perkalian.

Jika f(x) = u(x).v(x)

Maka f ‘ (x) = u ‘ (x). v(x) + u(x).v ‘ (x)

Untuk fungsi trigonometri, turunan sinx adalah cosx dan turunan cosx adalah -sinx.

Lebih lengkapnya, perhatikan gambar di bawah ini.

Jadi turunan f(x) 5sinxcosx adalah f ‘ (x) = 5(cos²x – sin²x) atau f ‘ (x) = 5cos2x

3.  Diketahui biaya produksi barang sebuah perusahaan dinyatakan dalam fungsi f(x) = 8x² – 120x. Kemudian harga jual tiap barang dinyatakan dalam f(x) = 1/3 x² – 10x + 200. x menyatakan jumlah barang. Maka, untuk mencapai keuntungan maksimum, jumlah barang yang harus diproduksi adalah sebanyak…

Penyelesaian:

Biaya Produksi = 8x² – 120x

Harga Jual tiap barang = 1/3 x² – 10x + 200

Keuntungan = Harga Jual semua Barang  – Biaya Produksi

= (Jumlah Barang dikali Harga Jual tiap Barang) – Biaya Produksi

= x.(1/3 x² – 10x + 200) – (8x² – 120x)

= (1/3 x³ – 10x² + 200x) – (8x² – 120x)

= 1/3 x³ – 18x² + 320x

Untuk mencapai keuntungan maksimum, maka nilai stationernya = 0

f ‘ (x) = 0

x² -36x + 320 = 0

(x -16)(x – 20) = 0

x = 16 atau x = 20.

Jadi, jumlah barang yang harus dijual adalah 16 atau 20 buah.

4.      Biaya proyek sebuah perusahaan per harinya dinyatakan oleh fungsi f(x) = 3x + 1200/x – 60 (dalam juta rupiah). Tentukan total biaya produksi selama x hari agar diperoleh biaya minimum?

Penyelesaian:

Biaya Proyek per hari = 3x + 1200/x – 60

Biaya Proyek per x hari = (3x + 1200/x – 60)/x

= 3 + 1200/x² – 60/x

= 3x² – 60x + 1200

Agar biaya minimum, maka nilai stationer = 0 atau f ‘ (x) = 0.

f ‘ (x) = 0

6x – 60 = 0

6x = 60

x = 10 hari.

Biaya minimum per hari

= 3x + 1200/x – 60

= 3(10) + 1200/10 -60

= 30 + 120 – 60

= 90 juta rupiah

Maka total biaya minimum proyek selama 10 hari adalah

= 90 juta rupiah x 10 hari

= 900 juta rupiah.

5.   Sebuah talang air akan dibuat dari lembaran seng yang lebarnya 30 cm dengan melipat lebarnya atas menjadi 3 bagian yang sama, seperti terlihat pada gambar. Jika θ menyatakan besar sudut dnding talang dengan bidang alasnya, maka volume air yang tertampung paling banyak bila θ …

Penyelesaian:

Lipatan seng berbentuk trapesium.

Untuk mencapai volume air maksimum, maka nilai stationer dari luas trapesium = 0.

Pembahasannya ada pada gambar di bawah ini.

Jadi untuk mencapai volume maksimum, besar sudut θ = 60°.

*Semoga Bermanfaat*